A figura a seguir ilustra um triângulo equilátero ABC com os pontos D, E, F, G, H, I, J, K e L dispostos sobre seus lados de modo que: AD, DE, EF e FB têm todos a mesma medida; AG,

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como ABC é equilátero, cada lado foi dividido em 4 segmentos iguais. Seja cada segmento de comprimento x.

Em AC, H fica a 2 segmentos de A, então \(HC=2x\). Em BC, K fica a 2 segmentos de B, então \(KC=2x\). Logo, o triângulo HKC é semelhante a ABC com lado \(2x\).

A área de um triângulo equilátero de lado \(a\) é \( \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Assim \(A_1\) (HKC) vale \( \dfrac{(2x)^2\sqrt{3}}{4}=x^2\sqrt{3}\).

O pequeno triângulo ADG, com lado \(x\), tem área \(A_2=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}\). A área total \(A_t\) de ABC, com lado \(4x\), é \( \dfrac{(4x)^2\sqrt{3}}{4}=4x^2\sqrt{3}\).

O pentágono DBKHG tem área \(A_3=A_t-A_1-A_2=\left(4-1-\tfrac{1}{4}\right)x^2\sqrt{3}=\tfrac{11}{4}x^2\sqrt{3}.\)

A razão pedida é \( \dfrac{A_1}{A_3}=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{\tfrac{11}{4}x^2\sqrt{3}}=\dfrac{4}{11}.\)