Questão FC625984
Em um torneio de futebol amador, a cada rodada duas equipes se enfrentam. A equipe vitoriosa recebe 5 pontos e a perdedora não pontua; em caso de empate, cada uma das equipes receb
Conjuntos
NC UFPR (FUNPAR) · 2015
Em um torneio de futebol amador, a cada rodada duas equipes se enfrentam. A equipe vitoriosa recebe 5 pontos e a perdedora não pontua; em caso de empate, cada uma das equipes recebe 3 pontos. Todos os pontos obtidos por uma equipe são somados, e aquele que tiver a maior pontuação no final do campeonato é declarado campeão. Sabendo que ao final do torneio a equipe dos Matemáticos obteve exatamente 37 pontos, considere as seguintes afirmativas:
1. A equipe dos Matemáticos jogou pelo menos 9 partidas nesse torneio.
2. A equipe dos Matemáticos obteve no máximo 6 empates.
3. A equipe dos Matemáticos foi derrotada pelo menos uma vez nesse torneio.
Assinale a alternativa correta.
- Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
- Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
- As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Temos a soma de pontos \(37 = 5v + 3e\), onde \(v\) = número de vitórias e \(e\) = número de empates. Trabalhando em módulo 3, \(5v \equiv 2v\) e \(37 \equiv 1\), então \(2v \equiv 1 \pmod{3}\), o que dá \(v \equiv 2 \pmod{3}\).
Isso limita \(v\) a valores \(2,5,8,\dots\). Testando:\
- \(v=2 \Rightarrow e=(37-10)/3=9\),\
- \(v=5 \Rightarrow e=(37-25)/3=4\),\
- \(v=8\) já daria \(e<0\).
Portanto as únicas soluções não negativas são \((v,e)=(2,9)\) e \((5,4)\). O número de partidas é \(v+e\), que nesses casos é \(11\) e \(9\). Assim a equipe jogou pelo menos 9 partidas, e a afirmativa 1 é verdadeira. Logo, somente a afirmativa 1 é verdadeira.
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