Questão FC626148
4 algarismos (incluindo as 2 do exemplo) podem ser formadas respeitando essas três regras?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
NC UFPR (FUNPAR) · 2023
Considere as seguintes regras para geração de senhas:
1. as senhas não podem incluir o zero nem ter algarismos repetidos.
2. as senhas não podem ter algarismos consecutivos.
3. os algarismos da senha devem estar em ordem crescente. Por exemplo, senhas como 5799, 3580, 1234 e 2461 não são válidas. E senhas como 1479 e 2468 atendem às três regras. Quantas senhas de
4 algarismos (incluindo as 2 do exemplo) podem ser formadas respeitando essas três regras?
- 12.
- 13.
- 14.
- 15.
- 16.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Devemos formar senhas com dígitos de 1 a 9, em ordem estritamente crescente, sem zeros, sem repetições e sem dois algarismos consecutivos. Isso equivale a escolher 4 números \(a
Use a transformação \(a'=a,\; b'=b-1,\; c'=c-2,\; d'=d-3\). Essa mudança retira o espaçamento mínimo exigido entre os termos, produzindo uma seleção estritamente crescente de quatro números em \(\{1,\dots,6\}\). Há então \( \binom{6}{4}\) maneiras de escolher esses quatro valores.
Portanto o total é \( \binom{6}{4}=15\). Essa contagem corresponde exatamente às 15 senhas válidas.
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