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Questão FC626152

Patrícia tem disponíveis 6 cores distintas, que pretende usar para pintar um cubo, de modo que cada face tenha uma cor diferente. Cada possibilidade de pintura deve resultar em um

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)

NC UFPR (FUNPAR) · 2020

Patrícia tem disponíveis 6 cores distintas, que pretende usar para pintar um cubo, de modo que cada face tenha uma cor diferente. Cada possibilidade de pintura deve resultar em um cubo pintado, distinto dos demais possíveis. Do mesmo modo, se ela tivesse disponíveis 7 cores para pintar o cubo, quantas possibilidades a mais ela teria?

  1. 180.
  2. 150.
  3. 75.
  4. 42.
  5. 30.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Com 6 cores distintas e cada face com cor diferente, há \(6!\) atribuições de cores às faces. Como rotações do cubo não geram novas pinturas, dividimos por 24, o número de orientações do cubo. Assim obtemos \( \dfrac{6!}{24}= \dfrac{720}{24}=30\) pinturas distintas.

Com 7 cores disponíveis, escolhemos quais 6 serão usadas: \( \binom{7}{6}=7\) escolhas. Para cada escolha há 30 pinturas distintas, logo \(7\times30=210\) pinturas possíveis.

A diferença entre os dois cenários é \(210-30=180\). Portanto a alternativa correta é 180.

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