Questão FC626200
As únicas raízes reais do polinômio \(p(x)\) dado pelo determinante abaixo são –2 e –1. \(p(x) = det { \begin{pmatrix}\,\,q(x)\,\,\,x + 2\,\,x^2 + 2x\\x^2 + x\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
NC UFPR (FUNPAR) · 2022
As únicas raízes reais do polinômio \(p(x)\) dado pelo determinante abaixo são –2 e –1.
\(p(x) = det { \begin{pmatrix}\,\,q(x)\,\,\,x + 2\,\,x^2 + 2x\\x^2 + x\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ x+ 1\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \end{pmatrix}}\)
Sabendo-se que o polinômio \(q(x) = ax^2 + bx + c\) (com \(a,b\) e \(c\) constantes) tem as mesmas raízes reais de \(p(x)\), correto afirmar que:
- \(b^2 - 4ac < 0\,e\,a > { \large 3 \over 4}\)
- \(b^2 - 4ac < 0\,e\,a < { \large 3 \over 4}\)
- \(b^2 - 4ac > 0\,e\,a < { \large 3 \over 4}\)
- \(b^2 - 4ac > 0\,e\,a > { \large 3 \over 4}\)
- \(b^2 - 4ac < 0\,e\,a = { \large 3 \over 4}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Calcule-se o determinante e observe-se a fatoração \(p(x)=(x+1)(x+2)(x^2-x+1-a)\). Como as únicas raízes reais de \(p\) são \(-1\) e \(-2\), o fator quadrático restante não pode ter raízes reais.
Assim, sua discriminante deve ser negativa: \((-1)^2-4\cdot1\cdot(1-a)<0\). Isso leva a \(1-4+4a<0\), portanto \(4a<3\) e \(\boxed{a<\tfrac{3}{4}}\).
Como \(q(x)\) tem as mesmas raízes reais, tem forma \(q(x)=a(x+1)(x+2)=ax^2+3ax+2a\). Calculando a discriminante de \(q\): \(b^2-4ac=(3a)^2-4a(2a)=9a^2-8a^2=a^2\).
Como \(q\) é quadrático, \(a\neq0\), logo \(a^2>0\) e \(\boxed{b^2-4ac>0}\). Portanto as duas condições da alternativa correta estão demonstradas.
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