Em quantos pontos do plano cartesiano a circunferência de equação \((x-2)^2 + (y +1)^2 = 9\) e a parábola de equação \(y = -2x^2 + 8x - 6\) se intersectam?

Gabarito

D

Comentário do professor

Substituímos \(y\) da parábola na circunferência: \((x-2)^2+(-2x^2+8x-5)^2=9\). Ao desenvolver e reunir termos obtemos a equação quartica \(4x^4-32x^3+85x^2-84x+20=0\).

Fatorando, encontramos \((x-2)^2(4x^2-16x+5)=0\). Daí surge a raiz dupla \(x=2\) e as raízes da quadrática \(4x^2-16x+5=0\).

Calculemos o discriminante da quadrática: \(\Delta=(-16)^2-4\cdot4\cdot5=176>0\), logo existem duas raízes reais distintas adicionais.

Para \(x=2\) temos \(y=-2(2)^2+8\cdot2-6=2\). Esse ponto \((2,2)\) fica a distância 3 do centro da circunferência, caracterizando tangência (multiplicidade 2, mas um único ponto). As outras duas raízes geram dois pontos distintos.

Portanto há 3 pontos distintos de interseção.