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Questão FC626209

Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S1, S2, S3, conforme a figura ao lado. Os volumes de S1, S2, S3, nessa ordem, estão e

Progressão Geométrica

NC UFPR (FUNPAR) · 2023

Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S1, S2, S3, conforme a figura ao lado. Os volumes de S1, S2, S3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S1 é igual a \(\sqrt [3] {7}\). Assinale a alternativa que corresponde à razão q.

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
  5. 7
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Gabarito

A

Comentário do professor

Os volumes de S1, S2 e S3 formam uma progressão geométrica de razão \(q>1\), logo podem ser escritos como \(V_1,\,V_1q,\,V_1q^2\).

Cones semelhantes têm volumes na razão do cubo das razões lineares. Como \(\dfrac{R}{r_1}=\sqrt[3]{7}\), segue que \(\dfrac{V}{V_1}=\left(\dfrac{R}{r_1}\right)^3=7\).

Como \(V=V_1+V_2+V_3\), temos \(\dfrac{V_1+V_1q+V_1q^2}{V_1}=7\), isto é \(1+q+q^2=7\).

Resolvendo \(q^2+q-6=0\) obtém-se \(q=2\) ou \(q=-3\). Pela condição \(q>1\), a razão correta é \( \mathbf{q=2} \).

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