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Questão FC626211

Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau: \(p_1(x) = 2x^2+\frac{x}{3}-3, p2(x) = 2x^2+\frac{x}{9}-9, p3(x)=2x^2+\frac{x}{27}-27,...,p_n(x)=2x^2+\frac{x

Progressão Geométrica

NC UFPR (FUNPAR) · 2018

Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau:

\(p_1(x) = 2x^2+\frac{x}{3}-3, p2(x) = 2x^2+\frac{x}{9}-9, p3(x)=2x^2+\frac{x}{27}-27,...,p_n(x)=2x^2+\frac{x}{3^n}-3^n,...\)

Denotando por \(s_1\) a soma das raízes de \(p_1\)(\(x\)), \(s_2\) a soma das raízes de \(p_2\)(\(x\)) e assim por diante, pode-se concluir que a soma infinita

\(S\)= \(s_1\)+ \(s_2\)+ \(s_3\)+ \(s_4\)+⋯

é igual a:

  1. −1/2.
  2. −1/4 .
  3. −1/8.
  4. 1/4.
  5. 1/2.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Usamos a fórmula da soma das raízes de uma quadrática: \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\).

Para \(p_n(x)=2x^2+\frac{x}{3^n}-3^n\) temos \(a=2\) e \(b=\frac{1}{3^n}\). Assim \(s_n=\frac{-\frac{1}{3^n}}{2}=-\frac{1}{2\cdot 3^n}\).

Os termos \(s_n\) formam uma PG com primeiro termo \(s_1=-\tfrac{1}{6}\) e razão \(q=\tfrac{1}{3}\).

A soma infinita de uma PG com \(|q|<1\) é \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Aqui \(S=\frac{-\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{4}.\)

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