Questão FC626220
O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função \(I(t)=I_02^{rt}\), em que \(I(t)\) representa o núm
Funções e Inequações
NC UFPR (FUNPAR) · 2021
O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função \(I(t)=I_02^{rt}\), em que \(I(t)\) representa o número de infectados da população, \(I_0>0\) representa o número inicial de infectados, \(r >0\) representa a taxa de contágio e \(t\) é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:
- Caso a taxa de infectados \(r\) esteja no intervalo (0,1), então o número de infectados \(I(t)\) decresce conforme os dias passam.
- Caso \(I_0=3\) e \(r=2,3\), então o número de infectados \(I(t)\) aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.
- Caso \(I_0=1\) e \(r=1\), então a cada dia que passa a quantidade de infectados \(I(t)\) aumenta em 2.
- Caso \(I_0=1\) e \(r=0,5\), então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados \(I(t)\) seja maior que 1.000.
- Se a taxa de contágio, aumentar, então haverá menos pessoas infectadas conforme os dias passam.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Considerando a função \(I(t)=I_0\cdot2^{r t}\) com \(I_0=1\) e \(r=0,5\), temos \(I(t)=2^{0{,}5t}\).
Queremos o menor tempo t tal que \(I(t)>1000\). Resolva a desigualdade:
\(2^{0{,}5t}>1000\). Tomando logaritmo na base 2:
\(0{,}5t>\log_2 1000\), portanto \(t>2\log_2 1000\).
Calculando aproximadamente, \(\log_2 1000\approx9{,}966\), então \(t>19{,}93\). Como t é medido em dias inteiros, é necessário pelo menos 20 dias.
Verificação rápida: para \(t=20\), \(I(20)=2^{0{,}5\cdot20}=2^{10}=1024\), que é maior que 1000, confirmando a conclusão.
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