Sejam \(p(x)=x+a\) e \(q(x)=x^2-b\) funções, com a e b números reais. Sabendo que r = \(\frac {1} {2}\) é a única raiz da função composta \(f(x)=q(p(x))\), assinale a alternativa q

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos \(p(x)=x+a\) e \(q(x)=x^2-b\). A função composta é f(x): \(f(x)=q(p(x))=(x+a)^2-b=x^2+2ax+(a^2-b)\).

Como \(r=\tfrac12\) é a única raiz, trata-se de raiz dupla. Pela soma das raízes de \(x^2+2ax+(a^2-b)\) vale \(r_1+r_2=-2a\). Como \(r_1=r_2=\tfrac12\), tem-se \(1=-2a\), logo \(a=-\tfrac12\).

Pela produto das raízes, \(r_1r_2=a^2-b\). Como \(r_1r_2=\tfrac14\) e \(a^2=(\tfrac12)^2=\tfrac14\), obtemos \(\tfrac14=\tfrac14-b\), portanto \(b=0\).

Assim, \(a+b=-\tfrac12+0=-\tfrac12\).