Calcule o valor da constante a para que o sistema linear a seguir possua infinitas soluções \(\begin{cases} x-2y+5z=3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2x-y=0\\x+3y+(a^2-14)z=a-6\end{cases}\)

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Procuramos o valor de \(a\) para que o sistema tenha infinitas soluções, isto é, para que uma equação seja combinação linear das outras duas.

Somando a primeira e a segunda equações obtemos \(x-2y+5z + (-2x-y)= -x-3y+5z = 3\).

Multiplicando a terceira por \(-1\) fica \( -x-3y-(a^2-14)z = 6-a\). Para coincidir com a soma anterior precisamos igualar coeficiente de \(z\) e termo independente:

\(-(a^2-14)=5 \Rightarrow a^2=9\) e \(6-a=3 \Rightarrow a=3\). A condição comum é a=3.

Assim, com \( \boldsymbol{a=3}\) a terceira equação é combinação das duas primeiras e o sistema admite infinitas soluções.