Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus). Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângu

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcule a soma dos ângulos internos de um polígono de 20 lados: \(S=(n-2)\cdot180^\circ\). Assim \(S=(20-2)\cdot180^\circ=18\cdot180^\circ=3240^\circ\).

Os ângulos formam uma progressão aritmética de razão \(r=4^\circ\). O termo geral dá \(a_{20}=a_1+(20-1)r\), logo \(a_{20}=a_1+76\).

Usando a soma da PA: \(S=\dfrac{n(a_1+a_{20})}{2}\). Com \(n=20\) tem-se \(3240=10(a_1+a_{20})\), portanto \(a_1+a_{20}=324\).

Substituindo \(a_{20}=a_1+76\) vem \(2a_1+76=324\), então \(2a_1=248\) e \(a_1=124^\circ\).

Logo \(a_{20}=124^\circ+76^\circ=200^\circ\). O produto pedido é \(124\times200=24800\).