Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao la

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como as retas em P são tangentes à circunferência em Q e R, e são perpendiculares entre si, os raios OQ e OR também formam ângulo de 90º. Assim o arco RQ corresponde a um quarto da circunferência, de comprimento \( \dfrac{\pi r}{2}\).

Coloque o sistema com P na origem e as tangentes como eixos: o centro fica em \((r,r)\), logo \(PQ=PR=r\). Portanto o perímetro da região hachurada é a soma do arco RQ com os dois segmentos tangentes: \( \dfrac{\pi r}{2}+2r\).

Igualando ao valor dado: \( \dfrac{\pi r}{2}+2r=2\pi+8\). Multiplique por 2 e reúna termos: \(\pi r+4r=4\pi+16\).

Fatorando: \(r(\pi+4)=4(\pi+4)\). Como \(\pi+4\neq0\), segue \(r=4\). Assim a alternativa correta é 4 cm.