Na figura abaixo, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo \(\alpha\) mede \(\pi/3\) radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como \( \alpha=\pi/3 \) rad, a área do setor circular PCQ pode ser calculada pela fórmula em radianos: \(A_s=\tfrac{1}{2}r^2\alpha\). Assim \(A_s=\tfrac{1}{2}r^2\cdot\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi r^2}{6}\).

O triângulo PCQ tem dois lados iguais ao raio e ângulo entre eles \( \pi/3\), logo é equilátero de lado \(r\). Sua área é \(A_{\triangle}=\tfrac{\sqrt3}{4}r^2\).

A razão entre as áreas é \(\dfrac{A_s}{A_{\triangle}}=\dfrac{\tfrac{\pi r^2}{6}}{\tfrac{\sqrt3}{4}r^2}=\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{4}{\sqrt3}=\dfrac{2\pi}{3\sqrt3}=\dfrac{2\pi\sqrt3}{9}\), que é a resposta correta.