Questão FC626279
Na figura acima, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto \(Q\). Os raios dessas circunferências são \(R_1\) e \(R_2\), com \(R_1 < R_2\). Cada uma das retas r e s é
Geometria Plana
NC UFPR (FUNPAR) · 2022
Na figura acima, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto \(Q\). Os raios dessas circunferências são \(R_1\) e \(R_2\), com \(R_1 < R_2\). Cada uma das retas r e s é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto P. Qual é a distância entre os pontos P e Q?
- \(2 { \large R_1 + R_2 \over R_2 - R_1}\)
- \(2 { \large R_2 - R_1 \over R_1 R_2}\)
- \(2 { \large R_1 + R_2 \over R_2 R_1}\)
- \(2 { \large R_2 - R_1 \over R_1 + R_2}\)
- \(2 { \large R_1 R_2 \over R_2 - R_1}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A interseção P das tangentes comuns é o centro da homotetia que envia a circunferência de raio \(R_1\) na de raio \(R_2\). Assim, \(P\), \(O_1\) e \(O_2\) (centros) são colineares e vale a razão \(\dfrac{PO_1}{PO_2}=\dfrac{R_1}{R_2}\).
Seja \(a=PO_1\) e \(b=PO_2\). Como \(O_1O_2=R_1+R_2\) e \(O_1\) está entre \(P\) e \(O_2\), temos \(b-a=R_1+R_2\). Substituindo \(a=\dfrac{R_1}{R_2}b\) obtém-se
\(b\Big(1-\dfrac{R_1}{R_2}\Big)=R_1+R_2\Rightarrow b=\dfrac{R_2(R_1+R_2)}{R_2-R_1}\) e \(a=\dfrac{R_1(R_1+R_2)}{R_2-R_1}.\)
A distância procurada é \(PQ=PO_1+O_1Q=a+R_1\). Substituindo e simplificando resulta
\(PQ=\dfrac{2R_1R_2}{R_2-R_1}\), conforme indicado.
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