Questão FC626280
Considere a seguinte sequência de polígonos regulares inscritos em um círculo de raio 2 cm: Sabendo que a área A de um polígono regular de n lados dessa sequência pode ser calculad
Geometria Plana
NC UFPR (FUNPAR) · 2015
Considere a seguinte sequência de polígonos regulares inscritos em um círculo de raio 2 cm:
Sabendo que a área A de um polígono regular de n lados dessa sequência pode ser calculada pela fórmula
\(A=2n·sen \begin{pmatrix}{ \large 2 \pi \over n}\end{pmatrix}\)
considere as seguintes afirmativas:
- As áreas do triângulo equilátero e do quadrado nessa sequência são, respectivamente, \(3\sqrt3\, cm^2 e\, 8 \,cm^2\).
- O polígono regular de 12 lados, obtido nessa sequência, terá área de \(12\, cm^2\).
- À medida que n aumenta, o valor A se aproxima de \(4\pi\, cm^2\).
Assinale a alternativa correta.
- Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
- Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
- As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Usando a fórmula geral \(A=2n\sen\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) e lembrando que ela vem de somar \(n\) triângulos isósceles de área \(\tfrac{1}{2}r^2\sen\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) com \(r=2\), verificamos cada item.
Para o triângulo (n=3): \(A=2\cdot3\sen\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\). Correto.
Para o quadrado (n=4): \(A=2\cdot4\sen\!\left(\frac{2\pi}{4}\right)=8\cdot\sen\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=8\cdot1=8\). Correto.
Para o polígono de 12 lados (n=12): \(A=2\cdot12\sen\!\left(\frac{2\pi}{12}\right)=24\cdot\sen\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=24\cdot\frac{1}{2}=12\). Correto.
Quanto ao comportamento quando \(n\to\infty\), o polígono inscrito se aproxima do círculo de raio 2, cuja área é \(\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi\). Logo, o limite de \(A\) é \(4\pi\). Correto.
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