Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura ao lado. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B. Assinale a alternativa

Gabarito

D

Comentário do professor

Chame os centros das circunferências de C (raio 1) e D (raio 3). Coloque a reta r como o eixo x, com A em \( (0,0) \) e B em \( (x,0) \), onde \(x\) é a distância AB que queremos.

Como CA é perpendicular a r e tem comprimento 1, temos \(C=(0,1)\). De modo análogo, \(D=(x,3)\).

A distância entre os centros é \(CD=4\). Pelo teorema de Pitágoras no triângulo com vértices \(C\) e \(D\):

\(CD^2 = (x-0)^2 + (3-1)^2\), ou seja \(4^2 = x^2 + 2^2\).

Daí \(16 = x^2 + 4\), logo \(x^2 = 12\) e \(x = 2\sqrt{3}\). Portanto, a distância entre A e B é 2\(\sqrt{3}\).