Questão FC626289
sendo \(t \ge 0\) o tempo. Em quanto tempo o líquido atingirá metade da capacidade desse reservatório?
Geometria Espacial
NC UFPR (FUNPAR) · 2022
Na figura acima, tem-se um reservatório no formato de um cone circular reto com altura h e área do topo igual a 12 m2. Esse reservatório está sendo preenchido com um líquido cujo volume em m3 é dado por:
\(V(t) = log_2 (t^2 + 1)\)
sendo \(t \ge 0\) o tempo. Em quanto tempo o líquido atingirá metade da capacidade desse reservatório?
- \(t = \sqrt{ 4^h -1}\)
- \(t = 2^h -1\)
- \(t = \sqrt{ 2^h -1}\)
- \(t = 4^h -1\)
- \(t = \sqrt{ 4^h + 1}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
O reservatório é um cone circular reto, cujo topo é um círculo de área \(12\). Da área \(A=\pi r^2\) segue \(r^2=\dfrac{12}{\pi}\).
O volume total do cone é \(V=\dfrac{1}{3}\pi h r^2\). Substituindo \(r^2\) obtém-se \(V=\dfrac{1}{3}\pi h\cdot\dfrac{12}{\pi}=4h\).
A metade da capacidade é \(2h\). Como o volume preenchido em função do tempo é \(V(t)=\log_2(t^2+1)\), igualamos \(2h=\log_2(t^2+1)\).
Aplicando a exponenciação: \(2^{2h}=t^2+1\), então \(t^2=4^h-1\). Como \(t\ge 0\), o tempo buscado é \(t=\sqrt{4^h-1}\).
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