Questão FC626291
Considere o cubo de aresta 2 cm na figura abaixo, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície
Geometria Espacial
NC UFPR (FUNPAR) · 2021
Considere o cubo de aresta 2 cm na figura abaixo, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula A inicia sua trajetória em P e encerra em Q, e a partícula B vai do ponto P ao ponto N e em seguida ao ponto Q. Qual é a diferença em módulo, em cm, entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?
- \(6+\sqrt2-\sqrt5\)
- \(2+2\sqrt2-2\sqrt5\)
- \(4+\sqrt2\)
- \(4+2\sqrt2\)
- \(\sqrt2+\sqrt{10}-2\sqrt5\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Faça a planificação do cubo para transformar caminhos sobre a superfície em segmentos retos.
Para a partícula A, ao desdobrar as duas faces por onde passa, o trajeto fica como a diagonal de um retângulo de lados \(4\) e \(2\). Assim \(A^2=4^2+2^2=20\) e \(A=2\sqrt5\).
Para a partícula B, o trecho de \(P\) até o centro \(N\) é metade da diagonal de um quadrado de lado \(2\), portanto vale \(\sqrt2\). Do centro \(N\) até \(Q\), ao planificar as faces apropriadas, obtém-se a hipotenusa de um triângulo com catetos \(3\) e \(1\), de comprimento \(\sqrt{10}\). Logo \(B=\sqrt2+\sqrt{10}\).
A diferença em módulo entre os percursos é \(|B-A|=\sqrt2+\sqrt{10}-2\sqrt5\).
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