Questão FC626293
O raio, tanto da esfera como do cilindro, é r, e a altura do cilindro é de 2r. Se a esfera for retirada do tanque, como indicado na figura, a altura h, do nível da água, correspond
Geometria Espacial
NC UFPR (FUNPAR) · 2020
Uma esfera está mergulhada em um tanque com formato cilíndrico. O volume restante no tanque está completamente preenchido com água, como ilustra a figura.
O raio, tanto da esfera como do cilindro, é r, e a altura do cilindro é de 2r. Se a esfera for retirada do tanque, como indicado na figura, a altura h, do nível da água, corresponderá a que fração da altura do cilindro?
- \({ \large 1 \over 5}.\)
- \({ \large 1 \over 3}.\)
- \({ \large 2 \over 3}.\)
- \({ \large 4 \over 3}.\)
- \({ \large 5 \over 4}.\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Use a conservação do volume. O volume total do cilindro é \( \pi r^2(2r)\) e o da esfera é \(\tfrac{4}{3}\pi r^3\). Inicialmente a água ocupa a diferença entre esses volumes.
Depois de retirar a esfera a água forma um cilindro de altura h e volume \( \pi r^2 h\). Igualando volumes:
\( \pi r^2 h = \pi r^2(2r) - \tfrac{4}{3}\pi r^3\).
Dividindo por \(\pi r^2\) obtemos \( h = 2r - \tfrac{4}{3}r = \tfrac{2}{3}r\).
Como a altura do cilindro é \(2r\), a fração é \( \dfrac{h}{2r} = \dfrac{2r/3}{2r} = \dfrac{1}{3}\). Resultado: 1/3.
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