Questão FC626309
Assinale a alternativa que apresenta o resultado correto da integral indefinida \(\int \, e^{3x}dx\).
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Assinale a alternativa que apresenta o resultado correto da integral indefinida \(\int \, e^{3x}dx\).
- \({ \large {x \, e^{3x} \over 3}} + \, constante\)
- \({ \large {e ^{4x} \over 4}} + \, constante\)
- \(xe^x-3e^{3x} + constante\)
- \(e^{3x} + constante\)
- \({ \large {e ^{3x} \over 3}} + \, constante\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Para calcular \(\int e^{3x}\,dx\) faça a substituição \(u=3x\).
Daí \(du=3\,dx\), logo \(dx=\frac{du}{3}\).
Substituindo na integral obtém-se \(\int e^{u}\,\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int e^{u}\,du\). Isso usa a linearidade da integral, que permite passar a constante para fora.
Como \(\int e^{u}\,du=e^{u}\), temos \(\frac{1}{3}e^{u}+C\).
Voltando a \(x\) com \(u=3x\) resulta \(\frac{e^{3x}}{3}+C\).
A constante de integração \(C\) representa qualquer constante real; se desejar renomeá-la, pode escrever \(\frac{e^{3x}}{3}+k\).
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