Questão FC626310
Uma das etapas de um projeto de engenharia é a fixação de um sensor em uma represa. Para tanto, foi realizada a modelagem da represa, sendo necessário, como parte do projeto, deter
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Uma das etapas de um projeto de engenharia é a fixação de um sensor em uma represa. Para tanto, foi realizada a modelagem da represa, sendo necessário, como parte do projeto, determinar a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície \(z= { \large {1 \over 2}} \sqrt {24 - x^2 - 2y^2}\) com o plano \(y = 2\), no ponto \((2,2,\sqrt3)\). Levando em consideração os dados apresentados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a inclinação da reta tangente.
- \(\large {1 \over 2 \sqrt3}\)
- \(- \large {1 \over 2 \sqrt3}\)
- \(- \large {2 \over \sqrt3}\)
- \(\large {2 \over \sqrt 3}\)
- \(- \large { \sqrt3 \over 2}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Substitua \(y=2\) na superfície para obter a curva de interseção: \(z=\tfrac{1}{2}\sqrt{24-x^2-2\cdot2^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{16-x^2}\).
Multiplique por 2 e eleve ao quadrado: \(2z=\sqrt{16-x^2}\Rightarrow 4z^2=16-x^2\).
Derive implicitamente em relação a \(x\). Aplicando a regra da cadeia em \(4z^2\) obtemos \(8z\,z'=-2x\), onde \(z'=\dfrac{dz}{dx}\) é o coeficiente angular da reta tangente.
Isolando \(z'\): \(z'=-\dfrac{x}{4z}\). No ponto dado \((2,2,\sqrt3)\) temos \(z'=-\dfrac{2}{4\sqrt3}=-\dfrac{1}{2\sqrt3}\).
Portanto, a inclinação da reta tangente é \(-\dfrac{1}{2\sqrt3}\).
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