O valor numérico do limite \(\underset{x\rightarrow 0 }{\lim } \large {\sin \, 5x \over 2x}\) é igual a:

Gabarito

D

Comentário do professor

Comece reescrevendo a expressão para isolar a forma padrão do limite trigonométrico: \(\dfrac{\sin(5x)}{2x}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{\sin(5x)}{5x}\). Essa fatoração é apenas uma multiplicação por \(5/5\).

Conhecemos o limite fundamental \(\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1\). Fazendo a substituição \(t=5x\), que também tende a 0 quando \(x\to 0\), obtemos \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{5x}=1\).

Pelo produto de limites segue que \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{2x}=\dfrac{5}{2}\cdot 1\). Logo, o valor do limite é \(\tfrac{5}{2}\).