O valor numérico da integral definida \(\int_{o}^{\pi} \, x \, \cos (x) dx\), é igual a:

Gabarito

A

Comentário do professor

Aplicamos a regra da integração por partes: \( \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\).

Escolhemos \(f(x)=x\) e \(g'(x)=\cos x\). Assim \(f'(x)=1\) e \(g(x)=\sin x\).

Obtemos a primitiva \( \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x\).

Avalia-se a integral definida: \( \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \bigl(x\sin x + \cos x\bigr)\Big|_{0}^{\pi}\).

Substituindo os limites: \( \pi\sin\pi + \cos\pi - (0\sin0 + \cos0) = 0 -1 - (0 +1) = -2\).

Portanto, o valor numérico é -2.