Questão FC626319
Sobre os subespaços de M\(^{n,n}\), considere os seguintes itens: 1. Matrizes n × n em todas as entradas são constituídas por inteiros. 2. Matrizes n × n em que A = A\(^t\) . 3. Ma
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Sobre os subespaços de M\(^{n,n}\), considere os seguintes itens:
1. Matrizes n × n em todas as entradas são constituídas por inteiros.
2. Matrizes n × n em que A = A\(^t\) .
3. Matrizes n × n triangulares superiores.
4. Matrizes n × n em que \(\det\) A = 0.
Os subespaços de M\(^{n,n}\) estão corretos em:
- 1 e 2 apenas.
- 1 e 4 apenas.
- 2 e 3 apenas.
- 1, 3 e 4 apenas.
- 2, 3 e 4 apenas.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Os itens 2 e 3 formam subespaços de \(M^{n,n}\) porque satisfazem as propriedades de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e contêm a matriz nula.
Para as matrizes simétricas (\(A=A^t\)): se \(A\) e \(B\) são simétricas, então \(A+B=(A+B)^t\), logo a soma é simétrica. Para todo escalar \(k\), \(kA=(kA)^t\), logo a multiplicação por escalar preserva a simetria. A matriz nula é simétrica, portanto o conjunto é subespaço.
Para as matrizes triangulares superiores: por definição, todas as entradas abaixo da diagonal são zero. A soma de duas tais matrizes tem zeros abaixo da diagonal, e \(k\) vezes qualquer delas também. A matriz nula é triangular superior, logo o conjunto é subespaço.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em