Seja W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores \(𝒘𝟏 = (𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟏), 𝒘𝟐 = (𝟎, 𝟏, 𝟏, −𝟏), 𝒘𝟑 = (𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟎)\) \(e\) \(𝒘𝟒 = (𝟏, 𝟑, 𝟒, −𝟐)\). Qual é a dimensão de V?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Os vetores são \(w_1=(1,0,1,1)\), \(w_2=(0,1,1,-1)\), \(w_3=(1,1,2,0)\) e \(w_4=(1,3,4,-2)\). Observa-se que \(w_3=w_1+w_2\) e \(w_4=w_1+3w_2\), portanto \(w_3\) e \(w_4\) estão no span de \(w_1\) e \(w_2\).

Isso mostra que \(W=\text{span}\{w_1,w_2\}\). Resta verificar se \(w_1\) e \(w_2\) são linearmente independentes.

Considere \(a w_1 + b w_2 = 0\). Pelas coordenadas obtemos o sistema \(a=0\), \(b=0\), \(a+b=0\), \(a-b=0\). As primeiras duas equações já implicam \(a=b=0\), logo não há combinação linear não trivial.

Portanto \(w_1\) e \(w_2\) são independentes e formam uma base de \(W\). A dimensão de \(W\) é o número de vetores da base, isto é, \(2\).