Questão FC626321
Seja \(R^2 \rightarrow R^2\) uma transformação linear cuja matriz, em relação às bases canônicas, é \(A= { \begin {bmatrix} 1\,\,1\\1\,\,0 \end{bmatrix}}\) Considere as seguintes a
Matemática Avançada (Ensino Superior)
NC UFPR (FUNPAR) · 2017
Seja \(R^2 \rightarrow R^2\) uma transformação linear cuja matriz, em relação às bases canônicas, é
\(A= { \begin {bmatrix} 1\,\,1\\1\,\,0 \end{bmatrix}}\)
Considere as seguintes afirmativas:
1. O núcleo \(N(T) = {v \in R^2; Tv = 0}\) contém apenas o vetor nulo. 2. A transformação \(T\) é sobrejetiva. 3. A transformação \(T\) possui dois autovalores distintos. 4. A transformação \(T\) é diagonalizável.
Assinale a alternativa correta.
- Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
- As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Alternativa correta: E. As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
Núcleo: como \(det(A)=1\cdot0-1\cdot1=-1\neq0\), a matriz é invertível, logo \(N(T)=\{0\}\).
Sobrejetividade: matriz invertível em \(\mathbb R^2\) define uma transformação linear bijetiva, portanto é sobrejetiva.
Autovalores: o polinômio característico é \(det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-1\). A discriminante é \(\Delta=1+4=5>0\), então existem dois autovalores reais distintos \(\lambda=\tfrac{1\pm\sqrt5}{2}\).
Diagonalizável: em \(\mathbb R^2\), ter dois autovalores distintos garante dois autovetores linearmente independentes, portanto \(A\) é diagonalizável.
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