FC ConcursosFC Concursos

Questão FC626322

Sobre a transformação linear 𝑻: 𝑹𝟑 → 𝑹𝟐 cuja matriz em relação às bases canônicas é \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\), considere as seguintes afirmativas: 1

Matemática Avançada (Ensino Superior)

NC UFPR (FUNPAR) · 2015

Sobre a transformação linear 𝑻: 𝑹𝟑 → 𝑹𝟐 cuja matriz em relação às bases canônicas é \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\), considere as seguintes afirmativas:

1. 𝑻(𝟏, −𝟏, −𝟏) = (𝟎, 𝟎).

2. O núcleo de T tem dimensão 1.

3. A imagem de T é gerada pelos vetores 𝒗 = (𝟏, −𝟏), e 𝒘 = (𝟏, 𝟏).

Assinale a alternativa correta.

  1. Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  2. Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  3. Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  4. Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Da matriz \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}\) obtemos \(T(x,y,z)=(x+z,\,-y+z)\). Calculando \(T(1,-1,-1)=(1-1,\;1-1)=(0,0)\), logo afirmativa 1 é verdadeira.

O núcleo resolve \(x+z=0\) e \(-y+z=0\), daí \(y=-x\) e \(z=-x\). Assim \(\ker T=\{x(1,-1,-1)\}\), de dimensão \(1\). Logo afirmativa 2 é verdadeira.

Pelo teorema núcleo-imagem, \(\dim\mathrm{Im}\,T=3-1=2\). Note que \(v=(1,-1)= (1,0)+(0,-1)\) e \(w=(1,1)=(1,0)-(0,-1)\) estão em \(\mathrm{Im}\,T\) e são linearmente independentes (determinante \(2\neq0\)), então geram a imagem. Assim afirmativa 3 é verdadeira.

Portanto, todas as três afirmativas são verdadeiras.

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo