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Questão FC626323

Qual dos seguintes conjuntos de vetores é uma base para V?

Matemática Avançada (Ensino Superior)

NC UFPR (FUNPAR) · 2015

Seja V o subespaço de R5 gerado pelos vetores 𝒖𝟏 = (𝟏, 𝟐, 𝟏, 𝟎, 𝟏), 𝒖𝟐 = (𝟎, 𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟏), 𝒖𝟑 = (𝟏, 𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟎) e 𝒖𝟒 = (𝟐, 𝟒, 𝟐, 𝟎, 𝟐).

Qual dos seguintes conjuntos de vetores é uma base para V?

  1. {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4}
  2. {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3}
  3. {𝑢1, 𝑢2, 𝑢4}
  4. {𝑢1, 𝑢2}
  5. {𝑢1, 𝑢4}
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Gabarito

D

Comentário do professor

A proposta é mostrar que {u₁,u₂} é uma base de V, isto é, que esses vetores geram V e são linearmente independentes.

Observamos que \(u_3=u_1+u_2\) e \(u_4=2u_1\). Assim, qualquer combinação linear de \(u_1,u_2,u_3,u_4\) pode ser escrita usando apenas \(u_1\) e \(u_2\), logo Span\(\{u_1,u_2\}=V\) — eles geram V.

Para a independência linear, suponha \(a\,u_1+b\,u_2=0\). Pela primeira coordenada temos \(a\cdot1+b\cdot0=0\), então \(a=0\). Pela segunda coordenada, \(2a+b=0\) e, com \(a=0\), segue \(b=0\). Portanto só a combinação trivial anula os vetores, provando que são linearmente independentes.

Concluímos que \(\{u_1,u_2\}\) é uma base de V.

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