Questão FC670282
Um número n de amigos, entre eles Gael, estava brincando em um círculo. Eles posicionaram em um círculo, numerados de 1 a n, e um dos amigos escolheu um número k. Eles começaram a
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
QUADRIX · 2025
Um número n de amigos, entre eles Gael, estava brincando em um círculo. Eles posicionaram em um círculo, numerados de 1 a n, e um dos amigos escolheu um número k. Eles começaram a contar no sentido horário e, a cada k‑ésima pessoa, essa pessoa era eliminada. O jogo continuou até que apenas uma pessoa restasse, o vencedor.
Por exemplo, se n = 5 e k = 3, o jogo começaria com Gael e seus amigos nas posições 1 a 5. Eles iniciaram a contagem a partir da posição 1 e eliminaram a pessoa da posição 3. Depois, a contagem seguia a partir da posição 4, e a pessoa da posição 1 foi eliminada. A contagem continuou e eliminou a pessoa da posição 5. Em seguida, a contagem começou na posição 2 e eliminou a pessoa da posição 4. Por fim, a pessoa da posição 2 foi a vencedora.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se n = 4, haverá 120 maneiras distintas de Gael e seus amigos se disporem no círculo.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação está errada porque conta as disposições como se fossem lineares, não circulares. Em um círculo, arranjos que diferem apenas por rotação são equivalentes.
Para contar corretamente usamos a permutação circular. O número de maneiras de dispor \(n\) pessoas em círculo é dado por \(PC_n=(n-1)!\).
No caso \(n=4\) temos \(PC_4=(4-1)!=3!=6\). Uma forma intuitiva de ver isso é fixar uma pessoa (por exemplo, Gael) para eliminar a simetria rotacional; as outras 3 podem ser ordenadas de \(3!\) formas.
O valor 120 está incorreto; corresponde a \(5!\) e não tem relação com a contagem circular de 4 pessoas. Reflexões só seriam identificadas como iguais se o enunciado explicitasse essa condição.
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