Questão FC670339
As idades de Ana, Beatriz e Cecília formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Sabe‑se que a soma das idades atuais de Ana e Cecília é igual a 38 e que, há cinco anos, a idade
Progressão Geométrica
QUADRIX · 2025
As idades de Ana, Beatriz e Cecília formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Sabe‑se que a soma das idades atuais de Ana e Cecília é igual a 38 e que, há cinco anos, a idade de Beatriz era o dobro da idade de Ana.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Há algum ano, no passado ou no futuro, em que essas idades formam uma progressão geométrica.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Denotando as idades por \((B-r,B,B+r)\) por serem uma progressão aritmética, a soma de Ana e Cecília dá \((B-r)+(B+r)=38\), logo \(B=19\).
Há cinco anos, Beatriz tinha 14 anos e Ana tinha \(14-r\). Como Beatriz era o dobro de Ana: \(14=2(14-r)\), de onde \(r=7\). Assim as idades atuais são \(12,19,26\).
Se existisse um instante com razão geométrica, para algum \(t\) teríamos \((12+t,19+t,26+t)\) em progressão geométrica, isto é \(\dfrac{19+t}{12+t}=\dfrac{26+t}{19+t}\). Isso implica \((19+t)^2=(12+t)(26+t)\). Ao desenvolver os dois lados obtemos \(361+38t+t^2=312+38t+t^2\), levando a \(361=312\), contradição.
Portanto, não há nenhum \(t\) que torne as idades uma progressão geométrica, justificando o julgamento ERRADO.
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