João planta feijão todos os dias, e a quantidade plantada forma uma progressão geométrica de termos positivos. Sabe‑se que no 3º dia ele plantou 12 feijões e no 7º dia plantou 192

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Seja \(a\) o primeiro termo e \(r\) a razão da progressão geométrica. O termo geral é \(a_n= a\,r^{\,n-1}\).

Do enunciado temos \(a_3=a\,r^2=12\) e \(a_7=a\,r^6=192\). Dividindo essas equalidades obtemos \( \dfrac{a_7}{a_3}=r^{4}=\dfrac{192}{12}=16\).

Logo \(r^4=16\). Como os termos são positivos, a razão também deve ser positiva, e a raiz quarta positiva de 16 é \(r=2\). Se \(r\) fosse \(-2\), os sinais dos termos alternariam, contrariando a hipótese.

Opcionalmente, \(a=\dfrac{12}{r^2}=\dfrac{12}{4}=3\), e a sequência começa por 3, 6, 12, ... confirmando \(r=2\).