Assinale a opção que apresenta um número irracional.

Gabarito

D

Comentário do professor

Um número é irracional quando não pode ser escrito como uma fração de inteiros e sua representação decimal é infinita e não periódica. O valor de \( \sqrt{2} \) é aproximadamente 1,41421356... e não apresenta repetição periódica nas casas decimais.

Uma prova clássica por contradição: suponha que \( \sqrt{2}=\frac{p}{q} \) com \(p\) e \(q\) inteiros primos entre si (forma irredutível). Elevando ao quadrado obtemos \(2q^{2}=p^{2}\). Daí \(p^{2}\) é par, logo \(p\) é par; escrevendo \(p=2k\) e substituindo vem \(2q^{2}=4k^{2}\), isto é \(q^{2}=2k^{2}\), então \(q\) também é par.

Isso contradiz a hipótese de que \(p\) e \(q\) não têm fator comum. Portanto não existe fração de inteiros igual a \( \sqrt{2} \), logo \( \sqrt{2} \) é irracional.