Questão FC714380
Um cilindro circular reto, maciço e homogêneo, de raio da base igual a R e massa igual a m, é abandonado, a partir do repouso e de uma altura h, em um plano inclinado na superfície
Dinâmica
VUNESP · 2025
Um cilindro circular reto, maciço e homogêneo, de raio da base igual a R e massa igual a m, é abandonado, a partir do repouso e de uma altura h, em um plano inclinado na superfície da Terra. Esse cilindro rola sem deslizar até a base desse plano inclinado.
Sabendo que o momento de inércia desse cilindro, em relação ao seu eixo, é dado por \(I = \frac{1}{2}m R^2\) e considerando que a energia mecânica se conserva durante a descida, a velocidade de translação com que esse cilindro chega à base do plano inclinado depende da aceleração da gravidade terrestre e
- da altura h, apenas.
- da massa m, apenas.
- do raio R, apenas.
- da altura h e do raio R, apenas.
- da altura h, da massa m e do raio R.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Conservação da energia: a energia potencial inicial \(mgh\) transforma-se em energia de translação e de rotação ao atingir a base. Assim, \(mgh=\tfrac{1}{2}mv^2+\tfrac{1}{2}I\omega^2\).
Momento de inércia do cilindro é \(I=\tfrac{1}{2}mR^2\) e, por rolamento sem deslizar, vale \(\omega=\tfrac{v}{R}\). Substituindo, a energia rotacional vira \(\tfrac{1}{4}mv^2\).
Somando as energias cinéticas: \(mgh=\tfrac{1}{2}mv^2+\tfrac{1}{4}mv^2=\tfrac{3}{4}mv^2\). Cancelando \(m\) obtemos \(v^2=\tfrac{4}{3}gh\), logo \(v=\sqrt{\tfrac{4}{3}gh}\).
Portanto, a velocidade depende apenas de \(g\) e da altura \(h\); massa e raio cancelam-se na equação, desde que haja rolamento sem deslizar e conservação da energia.
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