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Questão FC714397

Um satélite de massa m, em quilogramas, completa uma volta em torno do planeta X a cada T horas, e o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre o satélite é dado por

Gravitação Universal

VUNESP · 2025

Um satélite de massa m, em quilogramas, completa uma volta em torno do planeta X a cada T horas, e o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre o satélite é dado por F newtons.

 

A expressão literal que permite calcular o raio r da órbita do satélite corresponde a:

  1. \(r^{3} = \frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\)
  2. \(r = \frac{vT}{2\pi}\)
  3. \(r^{2} = \frac{GMm}{F}\)
  4. \(r^{2} = \frac{GMT^{2}}{4\pi}\)
  5. \(r^{3} = \frac{GMT^{2}}{2\pi}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Partimos de que a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular: \( \dfrac{G M m}{r^{2}} = m\omega^{2}r\).

Cancelando a massa do satélite \(m\) e isolando \(r^{3}\) obtemos \( \omega^{2}r^{3}=GM\).

Usando a relação entre frequência angular e período, \( \omega=\dfrac{2\pi}{T}\), substituímos e temos \( r^{3}=\dfrac{GM}{\omega^{2}}=\dfrac{GM}{(2\pi/T)^{2}}.\)

Simplificando resulta na expressão final \( \;r^{3}=\dfrac{GM T^{2}}{4\pi^{2}}\), que relaciona o raio orbital com a massa do planeta, a constante gravitacional e o período.

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