Questão FC714400
Cientistas desejam lançar uma nave a partir da superfície da Terra, de massa M e raio R, que viaje sob ação exclusivamente gravitacional e que entre em órbita estável a uma altura
Gravitação Universal
VUNESP · 2025
Cientistas desejam lançar uma nave a partir da superfície da Terra, de massa M e raio R, que viaje sob ação exclusivamente gravitacional e que entre em órbita estável a uma altura 5R do centro da Terra. Adotando o referencial de energia potencial gravitacional no infinito e a constante de gravitação universal G, a velocidade de lançamento v, em função dos dados fornecidos, deverá satisfazer a expressão
- \(v=5\cdot \sqrt{{\large{G \cdot M \over 3 \cdot R}}}\)
- \(v={\large{3 \over 5}}\cdot \sqrt{{\large{G \cdot M \over R}}}\)
- \(v=3 \cdot \sqrt{{\large{G \cdot M \over 5 \cdot R}}}\)
- \(v=\sqrt{{\large{5 \cdot G \cdot M \over 3 \cdot R}}}\)
- \(v=\sqrt{{\large{3 \cdot G \cdot M \over 5 \cdot R}}}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Usamos a conservação da energia mecânica entre o lançamento (raio \(R\)) e a órbita circular em \(5R\), com energia potencial nula no infinito.
Energia inicial por unidade de massa: \(E_i=\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}\).
Na órbita circular de raio \(5R\) a velocidade orbital é \(v_c=\sqrt{\dfrac{GM}{5R}}\) e a energia total por unidade de massa é \(E_f=-\dfrac{GM}{2\cdot5R}=-\dfrac{GM}{10R}\).
Igualando \(E_i=E_f\): \(\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=-\dfrac{GM}{10R}\). Assim \(\dfrac{v^2}{2}=\dfrac{9GM}{10R}\), logo \(v^2=\dfrac{9GM}{5R}\) e finalmente \(v=3\sqrt{\dfrac{GM}{5R}}\).
Observação: assume-se lançamento com direção que permite alcançar a órbita pretendida, de modo a preservar o momento angular necessário.
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