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Questão FC784226

Um pequeno diamante está imerso no fundo de uma piscina a 1 m da superfície da água. Suponha que você queira impedir que ele seja visto por alguém de fora da piscina, colocando um

Ótica

Instituto AOCP · 2021

Um pequeno diamante está imerso no fundo de uma piscina a 1 m da superfície da água.

 

Suponha que você queira impedir que ele seja visto por alguém de fora da piscina, colocando um anteparo circular flutuante sobre a água, cujo centro esteja exatamente na vertical acima do diamante. Considere o índice de refração do ar igual a \(n_{ar}\), o índice de refração da água igual a \(n_{\acute{a}g}\) e a profundidade em que se encontra o diamante no fundo da piscina igual a h. Assinale a alternativa que apresenta o raio mínimo r que esse anteparo deve ter para que ele impeça que alguém consiga enxergar o diamante de fora da piscina.

  1. \(r \, = \, { \large {\large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \over \sqrt { 1 \, - \, \begin {pmatrix} { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \end {pmatrix}^2}} \, h\)
  2. \(r \, = \, { \large \begin {pmatrix} {\large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \end {pmatrix}^2 \over \sqrt { 1 \, - \, \begin {pmatrix} { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \end {pmatrix}^2}} \, h\)
  3. \(r \, = \, { \large \sqrt {1 \, - \, \begin {pmatrix} { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \end {pmatrix}} \over { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}}} \, h\)
  4. \(r \, = \, { \large { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \over 1 \, - \, { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}}} \, h\)
  5. \(r \, = \, { \large \begin {pmatrix} { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}} \end {pmatrix}^2 \over 1 \, - \, { \large n_{ar} \over n_{\acute{a}g}}} \, h\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para impedir a visão do diamante é preciso bloquear todos os raios que possam emergir da água; o limite ocorre no ângulo crítico dado por \(\sin\theta_c=\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\).

Na geometria do problema, o raio que atinge a borda do anteparo faz um ângulo \(\theta\) com a normal, e geometricamente \(\sin\theta=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+ h^2}}\), onde h é a profundidade do diamante.

Para que o anteparo seja mínimo, consideramos o caso limite \(\sin\theta=\sin\theta_c\), portanto \(\dfrac{r}{\sqrt{r^2+ h^2}}=\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\).

Elevando ao quadrado e isolando \(r\) obtém-se \(\dfrac{r^2}{r^2+h^2}=\left(\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\right)^2\), que leva a \(r^2\!\left(1-\left(\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\right)^2\right)=\left(\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\right)^2h^2\).

Daí surge a expressão final \(r=\dfrac{\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{n_{ar}}{n_{ag}}\right)^2}}\,h\), proporcional a h e dependente das índices de refração.

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