Questão FC784246
Uma mola de constante elástica K possui a extremidade esquerda presa a um suporte vertical, e a outra extremidade a uma massa m, apoiada em uma superfície horizontal perfeitamente
Oscilações (inclui Movimento Harmônico Simples)
Instituto AOCP · 2024
Uma mola de constante elástica K possui a extremidade esquerda presa a um suporte vertical, e a outra extremidade a uma massa m, apoiada em uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Inicialmente, a mola encontra-se comprimida com uma deformação x, ou seja, a massa m ocupa a posição -x. Com base nessas informações, calcule o intervalo de tempo para que a massa m passe pela posição x/2 pela primeira vez após o início da oscilação e assinale a alternativa correta.
- \(\frac{2 \pi}{3} .\sqrt{\frac{m}{K}}\)
- \(\frac{\pi}{3} . \sqrt{{\frac{m}{K}}}\)
- \(\frac{2 \pi}{3} . \sqrt{\frac{K}{m}}\)
- \(\frac{\pi}{3} . \sqrt{{\frac {K}{m}}}\)
- \(\frac{4 \pi}{3} . \sqrt{\frac{m}{k}}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para o movimento harmônico simples temos a posição genérica \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\).
Como a massa parte de \(x(0)=-x\), tem-se \(A=x\) e \(\cos\varphi=-1\), portanto \(\varphi=\pi\). Assim
\(x(t)=x\cos(\omega t+\pi)=-x\cos(\omega t)\).
Queremos o primeiro instante em que \(x(t)=x/2\). Substituindo:
\(x/2=-x\cos(\omega t)\Rightarrow \cos(\omega t)=-\tfrac{1}{2}\).
O menor ângulo positivo com cosseno \(-1/2\) é \(\omega t=2\pi/3\). Logo
\(t=\dfrac{2\pi/3}{\omega}\). Como \(\omega=\sqrt{\dfrac{K}{m}}\), obtemos
t = \(\dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{m}{K}}\), que é a expressão da alternativa correta.
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