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Questão FC784247

Dois pêndulos estão ligados a uma mola de massa desprezível, como ilustrado a seguir. Os comprimentos dos dois pêndulos são idênticos, L, mas suas massas são desiguais, m1 e m2. A

Oscilações (inclui Movimento Harmônico Simples)

Instituto AOCP · 2022

Dois pêndulos estão ligados a uma mola de massa desprezível, como ilustrado a seguir. Os comprimentos dos dois pêndulos são idênticos, L, mas suas massas são desiguais, m1 e m2. A distância inicial entre as massas é o comprimento de equilíbrio da mola, representada pela sua constante elástica k. Qual é a frequência normal deste sistema?

 

  1. (g2/L)1/2
  2. [(g/L) + (k/m1) + (k/m2)]1/2
  3. [k2/(m1 + m2)]1/2
  4. [(k/m1) + (m2/k)]1/2
  5. [(g2/L) + (k/m1m2]1/2
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para pequenas oscilações usamos deslocamentos horizontais \(x_1,x_2\) com \(x\approx L\theta\). As equações de movimento são

\(m_1\ddot x_1=-m_1\frac{g}{L}x_1-k(x_1-x_2)\),
\(m_2\ddot x_2=-m_2\frac{g}{L}x_2+k(x_1-x_2)\).

Procurando soluções do tipo \(x_i=A_i e^{i\omega t}\) obtemos o sistema linear cuja condição de não-trivialidade leva ao determinante nulo. Após dividir por \(m_1m_2\) e fatorar surge

\(\big(\frac{g}{L}-\omega^2\big)\!\left(\frac{g}{L}-\omega^2+\frac{k}{m_1}+\frac{k}{m_2}\right)=0.\)

Uma raiz dá \(\omega^2=\frac{g}{L}\). A outra, correspondente ao modo onde a mola se deforma, fornece

\(\omega^2=\frac{g}{L}+\frac{k}{m_1}+\frac{k}{m_2}\),

logo a frequência normal é \(\omega=\sqrt{\frac{g}{L}+\frac{k}{m_1}+\frac{k}{m_2}}\), conforme a alternativa indicada.

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