Sejam A, B e C três conjuntos. A expressão \((A \cap B) \cup C\) é equivalente a:

Gabarito

D

Comentário do professor

Para mostrar que \( (A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap(B\cup C) \) use a argumentação por elemento e a propriedade distributiva.

Seja um elemento \(x\in (A\cap B)\cup C\). Então \(x\in A\cap B\) ou \(x\in C\). Se \(x\in A\cap B\) então \(x\in A\) e \(x\in B\), logo \(x\in A\cup C\) e \(x\in B\cup C\), portanto \(x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)\). Se \(x\in C\) então claramente \(x\in A\cup C\) e \(x\in B\cup C\), logo também pertence à interseção.

Reciprocamente, seja \(x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)\). Então \(x\in A\cup C\) e \(x\in B\cup C\). Se \(x\in C\) já temos \(x\in (A\cap B)\cup C\). Caso contrário, \(x\in A\) e \(x\in B\), ou seja \(x\in A\cap B\), logo \(x\in (A\cap B)\cup C\).

Conclui-se a equivalência \( (A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap(B\cup C) \), que é a forma distribuída indicada.