Define-se cardinalidade de um conjunto como sendo o número de elementos desse conjunto. Considere um conjunto C, com 6 elementos. A soma das cardinalidades de todos os seus subconj

Gabarito

A

Comentário do professor

A cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. Para cada \(k\) entre 0 e 6 existem \(C(6,k)\) subconjuntos com exatamente \(k\) elementos, e a contribuição desses subconjuntos para a soma é \(k\cdot C(6,k)\).

Assim a soma pedida é \(\sum_{k=0}^{6} k\cdot C(6,k)\). Note que o caso \(k=0\) (subconjunto vazio) contribui com zero, então pode ser desprezado.

Uma forma simples de calcular \(\sum_{k} k\cdot C(n,k)\) é observar que, para cada um dos \(n\) elementos, existem \(2^{\,n-1}\) subconjuntos que o contêm. Logo cada elemento é contado \(2^{\,n-1}\) vezes na soma, totalizando \(n\cdot 2^{\,n-1}\).

Aplicando a \(n=6\) obtemos \(6\cdot 2^{5}=6\cdot 32=192\). Portanto a soma das cardinalidades é 192.