Um número natural é chamado de "saudável" se ele é um múltiplo comum de 84, 108 e 126, e, de "doente", se ele for um divisor comum de 360, 240 e 810. A diferença entre o menor núme

Gabarito

B

Comentário do professor

Um número "saudável" é múltiplo comum de 84, 108 e 126, então o menor deles é o mmc desses números. Decompondo: \(84=2^2\times3\times7\), \(108=2^2\times3^3\), \(126=2\times3^2\times7\).

Tomando, para cada primo, o maior expoente, temos \(mmc=2^2\times3^3\times7\). Assim \(mmc=4\times27\times7=756\).

Um número "doente" é divisor comum de 360, 240 e 810, então o maior deles é o MDC. Decompondo: \(360=2^3\times3^2\times5\), \(240=2^4\times3\times5\), \(810=2\times3^4\times5\).

Para o MDC tomamos os menores expoentes comuns: \(MDC=2^1\times3^1\times5^1=30\).

A diferença pedida é \(756-30=726\). Portanto a resposta correta é 726.