Seja N = (5l)5l. A quantidade de divisores positivos de N é:

Gabarito

B

Comentário do professor

Fatoração inicial: calcule \(5!\). Temos \(5!=120=2^3\cdot3\cdot5\).

Potência dada: \(N=(5!)^{5!}=120^{120}\). Ao elevar, os expoentes dos primos multiplicam-se por 120, então \(N=2^{3\cdot120}\cdot3^{120}\cdot5^{120}=2^{360}\cdot3^{120}\cdot5^{120}\).

Regra dos divisores: se \(N=\prod p_i^{\alpha_i}\), o número de divisores positivos é \(\prod(\alpha_i+1)\).

Aplicando: \((360+1)\,(120+1)\,(120+1)=361\cdot121\cdot121\).

Fatorando esses termos: \(361=19^2\) e \(121=11^2\), logo o produto é \(19^2\cdot(11^2)^2=19^2\cdot11^4\), que corresponde à alternativa correta.