O número N = 3\(\times\)105 + 4\(\times\)104 + 5\(\times\)103 + 2\(\times\)102 + a\(\times\)10 + 3, é divisível por 11 e a é um algarismo. O resto da divisão de N por 13 é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Escrevendo o número temos \(N=3\times10^5+4\times10^4+5\times10^3+2\times10^2+a\times10+3\), ou seja \(N=3452a3\).

Aplicando o critério de divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos algarismos em posições alternadas é múltipla de 11. Fazendo a alternância desde a esquerda: \(3-4+5-2+a-3=a-1\).

Como \(a\) é algarismo e \(a-1\) deve ser múltiplo de 11, segue \(a=1\). Assim \(N=345213\).

Para o resto de \(N\) por 13, use redução modular com potências de 10:\
\(10\equiv-3\pmod{13}\), \(10^2\equiv9\), \(10^3\equiv-1\), \(10^4\equiv3\), \(10^5\equiv4\).

Calcule cada termo: \(3\cdot4+4\cdot3+5\cdot12+2\cdot9+1\cdot(-3)+3=12+12+60+18-3+3=102\).

Reduzindo módulo 13: \(102\equiv102-8\cdot13=102-104\equiv-2\equiv11\pmod{13}\). Portanto o resto é 11.