Seja \(N = 8^3 \times 3^m \times 13^4\). Se N possui 350 divisores positivos, o valor de m é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Comece observando que a quantidade de divisores positivos de um número é o produto de cada expoente na fatoração em primos acrescido de 1, isto é, para \(p^a q^b r^c\) temos \((a+1)(b+1)(c+1)\).

Escrevendo \(N\): \(N=8^3\cdot 3^m\cdot 13^4\). Como \(8=2^3\), temos \(8^3=(2^3)^3=2^9\). Logo \(N=2^9\cdot 3^m\cdot 13^4\).

Os expoentes são 9, \(m\) e 4. Portanto o número de divisores é \((9+1)(m+1)(4+1)=10\cdot (m+1)\cdot 5=50(m+1)\).

Igualando a 350: \(50(m+1)=350\). Assim \(m+1=7\) e, portanto, \(m=6\).
Resposta: 6