Seja N um número natural, múltiplo de 6, que tem 10 divisores inteiros e positivos. A soma de todos os possíveis valores N é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como N é múltiplo de 6, ele é divisível por 2 e por 3, logo esses primos aparecem na decomposição de N.

Se \(N=\prod p_i^{e_i}\), o número de divisores é \(\prod (e_i+1)\). Aqui queremos \(\prod (e_i+1)=10\). Como \(10=2\cdot5\), a única decomposição compatível com ter pelo menos os primos 2 e 3 é ter dois expoentes tais que \((e_1+1,e_2+1)=(2,5)\), ou seja, os expoentes são 1 e 4.

Portanto os possíveis N, com primos 2 e 3, são \(2^1\cdot3^4=162\) e \(2^4\cdot3^1=48\). A soma desses valores é \(162+48=210\).