Questão FC828612
Um professor resolveu dividir um grupo de N estudantes de tal forma que todos os grupos tivessem a mesma quantidade de estudantes. Ao fazer a divisão inicialmente, colocou 4 integr
Conjuntos
Pró Reitoria GP CP2 · 2019
Um professor resolveu dividir um grupo de N estudantes de tal forma que todos os grupos tivessem a mesma quantidade de estudantes. Ao fazer a divisão inicialmente, colocou 4 integrantes por grupo e constatou que sobraram dois estudantes. Sendo assim, reorganizou-os de modo a ter 5 estudantes por grupo, e novamente sobraram dois estudantes. Para finalizar, reposicionou seus estudantes em grupos com 11 integrantes cada e, novamente, dois estudantes não foram inseridos nos grupos.
O menor valor possível para N é tal que
- \(\mathsf{205 < N\le210}\)
- \(\mathsf{210 < N\le215}\)
- \(\mathsf{215 < N\le220}\)
- \(\mathsf{220 < N\le225}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Queremos um número \(N\) que deixe resto 2 quando dividido por 4, 5 e 11. Em linguagem congruencial, isso é \(N\equiv2\pmod{4}\), \(N\equiv2\pmod{5}\) e \(N\equiv2\pmod{11}\).
Isso implica que \(N-2\) é múltiplo comum de 4, 5 e 11. Portanto basta calcular o mmc desses divisores. Como 4 e 5 são primos entre si e 11 é primo, temos \(mmc(4,5,11)=4\cdot5\cdot11=220\).
O menor múltiplo comum possível para \(N-2\) é 220, logo o menor \(N\) que satisfaz todas as condições é \(N=220+2=222\). Verificação: \(222\div4\), \(222\div5\) e \(222\div11\) deixam resto 2.
Assim, o menor valor possível de \(N\) pertence ao intervalo \(220< N\le225\) e corresponde a N=222.
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