Os números inteiros positivos x, y, z e N são distintos entre si, de modo que N = 2x.3y.5z. Se N possui 24 divisores, então, a soma dos algarismos do menor valor possível de N é:

Gabarito

B

Comentário do professor

Fórmula do número de divisores: para \(N=2^{x}3^{y}5^{z}\) tem-se \(d(N)=(x+1)(y+1)(z+1)=24\). Os expoentes \(x,y,z\) são positivos e distintos.

Fatorando 24 em três inteiros ≥2 que sejam distintos, obtemos \(2\cdot3\cdot4\). Assim \((x+1,y+1,z+1)\) é permutação de \((2,3,4)\), ou seja \((x,y,z)\) é permutação de \((1,2,3)\). Para obter o menor valor de \(N\) atribuímos o maior expoente à menor base: \(x=3,\;y=2,\;z=1\).

Logo \(N=2^{3}\cdot3^{2}\cdot5^{1}=8\cdot9\cdot5=360\). A soma dos algarismos de 360 é \(3+6+0=9\).