Considere a equação a seguir, cuja raiz é igual a k. \(\dfrac {x \, + \, 1} {x^2 \, - \, 2x} \,\, - \,\, \dfrac {2x \, + \, 1} {x^2 \, - \, 4} \, = \, - \, \dfrac {x \, - \, 1} {x^

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Devemos encontrar \(k\) resolvendo a equação. Fatore os denominadores: \(x^2-2x=x(x-2)\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(x^2+2x=x(x+2)\). Reescrevendo:

\(\dfrac{x+1}{x(x-2)}-\dfrac{2x+1}{(x-2)(x+2)}=-\dfrac{x-1}{x(x+2)}\)

Fazendo o mínimo múltiplo comum \(x(x-2)(x+2)\) e multiplicando ambos os lados, obtemos:

\((x+1)(x+2)-x(2x+1)=-(x-2)(x-1)\).

Expandindo e simplificando: \(-x^2+2x+2=-x^2+3x-2\). Cancelando \(-x^2\) e resolvendo dá \(2x+2=3x-2\), logo \(x=4\).

k vale 4, que é um quadrado perfeito ( \(4=2^2\) ). Note que \(x=4\) não anula nenhum denominador da equação original, portanto é solução válida.