Ao racionalizar o denominador da expressão \(\frac{2}{5 - \sqrt3}\), o resultado é igual a:

Gabarito

A

Comentário do professor

Para obter uma expressão com denominador racional, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Aqui o conjugado de \(5-\sqrt3\) é \(5+\sqrt3\).

Fazendo a multiplicação temos \( \dfrac{2}{5-\sqrt3}\cdot\dfrac{5+\sqrt3}{5+\sqrt3} = \dfrac{2(5+\sqrt3)}{(5-\sqrt3)(5+\sqrt3)}\).

No denominador aplicamos a identidade de diferença de quadrados: \((5-\sqrt3)(5+\sqrt3)=5^2-(\sqrt3)^2=25-3=22\).

Assim a fração vira \( \dfrac{2(5+\sqrt3)}{22}=\dfrac{10+2\sqrt3}{22}\). Simplificando por 2 obtemos \( \dfrac{5+\sqrt3}{11}\), que é o resultado final.